Vecteur normal à un plan

Définition

Un vecteur  \(\overrightarrow{n}\) non nul de l'espace est normal à un plan \(P\)   si  \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan  \(P\) .

Propriété

Soit un plan \(P\) de base   \(( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) . Un vecteur \(\overrightarrow{n}\) non nul de l'espace est normal à ce plan s'il est orthogonal à la fois à \(\overrightarrow{u}\) et à \(\overrightarrow{v}\) .

Démonstration

Soit \(( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) une base de \(P\) . 
Dire que le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur non nul normal à  \(P\) signifie que \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur directeur d'une droite \(d\) orthogonale au plan \(P\) .
Or \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur directeur d'une droite \(d\) orthogonale au plan \(P\)   si et seulement si \(\overrightarrow{n}\)  est orthogonal à la fois à \(\overrightarrow{v}\)  et à \(\overrightarrow{w}\) .

Remarques

• Si  \(\overrightarrow{n}\)   est un vecteur normal à un plan \(P\) et si \(\overrightarrow{n'}\)   est un vecteur non nul colinéaire à  \(\overrightarrow{n}\) , alors  \(\overrightarrow{n'}\)  est aussi un vecteur normal au plan  \(P\) ​​​​.
  
• Si \(\overrightarrow{n}\)   et  \(\overrightarrow{n'}\)   sont des vecteurs normaux à un même plan   \(P\) , alors   \(\overrightarrow{n}\)   et   \(\overrightarrow{n'}\)  sont colinéaires.